Площадь треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, т.е.
С л е д с т в и е 1.
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними,т.е.
. 
,где 
а)Площадь треугольника равна отношению произведения всех его сторон к учетверенному радиусу описанной окружности, т.е.
.
Отношени площадей треугольников с равными высотами равно отношению оснований, т. е. S1:S2=AD:CD.
С л е д с т в и е 2.
Стороны треугольника обратно пропорциональны соответствующим высотам, т.е.
С л е д с т в и е 3.
Любой треугольник подобен треугольнику, стороны которого есть величины, обратные высотам данного треугольника
с коэффициентом подобия равным 2S, т.е.
С л е д с т в и е 4.
Числа ha ,hb ,hc являются высотами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда обратные им величины удовлетворяют неравенству треугольника, т.е.
С л е д с т в и е 5.
Отношение площадей треугольников с равными основаниями равно отношению соответствующих высот.
Используя указанный факт и подобие прямоугольных треугольников легко показать, :для любых двух точек Е и F на прямой L проходящей через вершину В и точку D основания АС треугольника AEF и CEF равно отношению отрезков основания AD и CD, т.е. SAEF :
SCEF =AD:CD.
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними,т.е.
С л е д с т в и е 1.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т.е.
.С л е д с т в и е 2.
Отношение площадей треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон этого угла,т.е.
SABC :
S A1BC1 =(AB*CB):(A1B*C1B)
или
.
З а м е ч а н и е.
Ряд других интересных формул вычислений площади треугольника, которые непосредственно следуют из вышесказанного.
Формула Герона.
,где С л е д с т в и е 1.
Из темы "высота треугольник" и формулы Герона имеем формулы вычисления высот по сторонам треугольника:
С л е д с т в и е 2.
Для сторон треугольника выполняется неравенство:
2(a2b2+b2c2+a2c2)-(a2+b2+c2)>0
т.к. 2(a2b2+b2c2+a2c2)-(a2+b2+c2)=16p(p-a)(p-b)(p-c)=16s2>0
а)Площадь треугольника равна отношению произведения всех его сторон к учетверенному радиусу описанной окружности, т.е.
.б)Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности, т.е. S=p*r, где 
.
